Le Repaire des Sciences
Sciences Physiques et Chimiques

 

 

 

 

    

Quelques notions sur l'effet tunnel et la microscopie MET

 

 

L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière de potentiel, franchissement impossible selon la mécanique classique. Généralement, la fonction d'onde d'une particule, dont le carré du module représente l'amplitude de sa probabilité de présence, ne s'annule pas au niveau de la barrière, mais s'atténue à l'intérieur de la barrière, pratiquement exponentiellement pour une barrière assez large. Si, à la sortie de la barrière de potentiel, la particule possède une probabilité de présence non nulle, elle peut traverser cette barrière. Cette probabilité dépend des états accessibles de part et d'autre de la barrière ainsi que de son extension spatiale.

Au niveau théorique le comportement tunnel n'est pas fondamentalement différent du comportement classique de la particule quantique face à la barrière de potentiel ; elle satisfait à l'équation de Schrödinger, équation différentielle impliquant la continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée première dans tout l'espace. De même que l'équation des ondes électromagnétiques mène au phénomène des ondes évanescentes, de même la fonction d'onde rencontre des cas où l'amplitude de probabilité de présence est non nulle dans des endroits où l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie totale.

Si, au niveau mathématique l'évaluation de l'effet tunnel peut parfois être simple, l'interprétation que l'on cherche à donner aux solutions révèle le fossé qui sépare la mécanique classique, domaine du point matériel suivant une trajectoire définie dans l'espace-temps, de la mécanique quantique où la notion de trajectoire simple disparaît au profit de tout un ensemble de trajectoires possibles, dont des trajectoires où le temps apparaît complexe ou imaginaire pur... où les vitesses deviennent imaginaires.

On notera à ce propos que la durée de traversée tunnel d'une particule à travers une barrière quantique a été, et est encore, le sujet d'âpres discussions. Des études assez nombreuses dans le domaine électromagnétique ou photonique ont révélé l'apparition de ce que l'on peut interpréter comme des vitesses supraluminiques, respectant toutefois la relativité restreinte : il s'agit du phénomène connu sous le nom d'effet Hartman.

L'effet tunnel est à l'œuvre dans :

L'effet tunnel désigne la capacité pour une particule d'énergie inférieure à un seuil de franchir ce seuil. Alors qu'en mécanique classique ce phénomène est inexplicable, en mécanique quantique une particule d'énergie inférieure à la hauteur de la barrière possède une probabilité très faible, mais non nulle, de passer au travers.

Un phénomène spectaculaire apparaît dans le cas où la barrière possède, dans sa partie tunnel, un ou des états localisés dont l'énergie correspond à celle de la particule incidente. Un tel état localisé peut être un état atomique d'une impureté, ou au contraire un niveau discret d'un puits quantique créé.

À supposer que par un processus quelconque l'état discret soit occupé à un instant donné, la probabilité pour qu'il se dépeuple vers les états accessibles à l'extérieur de la barrière va provoquer le dépeuplement par effet tunnel à travers les barrières qui le bordent (le niveau n'est donc que quasi-lié). C'est la source de la durée de vie, et de la largeur du niveau du puits. Au niveau de la description, c'est un effet semblable à celui qui est responsable de la largeur naturelle des raies d'émission des atomes.

L'effet tunnel résonnant apparaît lorsqu'un tel système quantique est abordé de l'extérieur avec une énergie proche, ou égale à celle du niveau quasi-lié. La probabilité de passage à travers chacune des barrières d'entrée ou de sortie seule est très faible mais la résonance avec le niveau du puits va piéger la particule quantique, pendant un temps relativement long, de l'ordre de grandeur de la durée de vie du niveau quasi-lié, mais ce piégeage va permettre à la particule de traverser l'ensemble. La transmittivité de la barrière peut approcher l'unité, même pour des barrières épaisses.

On peut noter que plusieurs barrières résonnantes peuvent se suivre, faisant apparaître des bandes de transmittivité importante.

Prenons comme modèle simple deux barrières de potentiel rectangulaires distantes de quelques nm. Au cas où la hauteur de la barrière serait infinie, le calcul des niveaux discrets serait très simple ; la finitude en hauteur, et l'extension finie à droite, et à gauche ici provoquent un déplacement des niveaux, vers le bas, et l'apparition d'une largeur de niveau (ou autrement dit, d'une durée de vie).

La figure ci-contre montre la transmittivité de la barrière, obtenue par un balayage en énergie. La courbe épouse la forme caractéristique des lorentziennes, propre aux résonances. La mise en évidence des aspects temporels peut s'observer si l'on suit un paquet d'onde, associé à une particule incidente, venant de la gauche, dont le spectre en énergie recouvre la courbe de résonance.

On observe que la fonction d'onde est en grande partie transmise, qu'elle est considérablement déformée par rapport au paquet entrant, et qu'elle est en retard sur un paquet qui n'aurait pas eu à franchir la barrière. À l'instant où est calculée la fonction d'onde le puits central est encore peuplé : il se vide peu à peu vers les deux demi-espaces libres. Le retard entre les sommet du paquet « libre » et de la partie transmise correspond à la durée de vie Δt du niveau quasi-libre, soit

 

Une onde plane correspondant à une particule d'une masse effective de 0,067 fois la masse de l'électron, d'énergie 0,08 eV est incidente sur une barrière de potentiel rectangulaire simple, de 0,1 eV. Le schéma révèle la densité de probabilité de présence associée à cet état stationnaire. Le côté gauche révèle le phénomène d'interférence entre l'onde incidente et l'onde réfléchie. La partie tunnel (dans la barrière) provient de la combinaison de deux exponentielles, respectivement décroissantes de gauche à droite, et de droite à gauche. À droite, l'onde plane transmise se révèle par une densité de probabilité de présence constante.
Fonction d'onde d'un électron, représentant la densité de probabilité de sa position. La plus grande probabilité est que l'électron "rebondisse". Il existe une faible probabilité que l'électron franchisse la barrière de potentiel.

 

 

 

La barrière quantique sépare l'espace en trois, dont les parties gauche et droite sont considérées comme ayant des potentiels constants jusqu'à l'infini (VG à gauche, VD à droite). La partie intermédiaire constitue la barrière, qui peut être compliquée, révélant un profil doux, ou au contraire formé de barrières rectangulaires, ou autres éventuellement en séries.

 

On s'intéresse souvent à la recherche des états stationnaires pour de telles géométries, états dont l'énergie peut être supérieure à la hauteur de potentiel, ou au contraire inférieure. Le premier cas correspond à une situation dénommée parfois comme classique, bien que la réponse révèle un comportement typiquement quantique ; le second correspond au cas où l'énergie de l'état est inférieure à la hauteur du potentiel. La particule à laquelle correspond l'état traverse alors la barrière par effet tunnel, ou,autrement dit, si l'on considère le diagramme énergétique, par effet saute-mouton.

 

 Envisageant une particule incidente depuis la gauche, l'état stationnaire prend la forme simple suivante :



r et t sont respectivement les coefficients de réflexion et transmission en amplitude pour l'onde plane incidente.

est la fonction d'onde à l'intérieur de la barrière, dont le calcul peut être assez compliqué ; elle est liée aux expressions de la fonction d'onde dans les demi-espaces droits et gauches par les relation de continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée première.

Assez souvent on s'intéresse à la probabilité de transmission (donnant lieu au courant tunnel, par exemple), et donc on privilégie l'étude du coefficient de transmission t , plus précisément la valeur en amplitude et phase du coefficient tab = t , caractérisant les relations entre l'onde plane incidente, prise à l'entrée a et l'onde plane de sortie prise au point b. La probabilité de transmission est nommée la transmittivité  T = | t | ².

Ce sont ces transmittivités qui sont présentées dans quelques cas particuliers ci-dessous, limitées (en fait pour certaines formules seulement) au cas tunnel.
 

Exemples de transmittivités tunnel

barrière rectangulaire simple, association de barrières simples

La plupart des particularités de l'effet tunnel apparaissent lors de la considération de la barrière de potentiel la plus simple, une barrière rectangulaire symétrique, pour laquelle le potentiel est constant (égal à U) entre les points a et b, et nul à droite et à gauche. Dans ce cas, les vecteurs d'onde incident (réfléchi) et transmis ont même module, noté

tandis que la partie intérieure de la fonction d'onde est une combinaison linéaire des fonctions exponentielles décroissante et croissante .

Les conditions de continuité aux interfaces permettent alors aisément d'évaluer les quatre complexes, r, A, B et t. De ce dernier terme, on déduit la transmittivité :

d étant l'épaisseur de la barrière.
Dans le cas de barrière épaisse (Κd grand), l'on obtient la formule simple à retenir :

.

Dans ce cas là, on peut considérer la transmittivité comme le produit obtenu par l'approche BKW (cf. infra le terme exponentiel) par un préfacteur qui n'est que le produit des modules carrés des coefficients de transmission propres aux interfaces d'entrée et de sortie.

Cette structure est une forme simplifiée de celle qui apparaît dans le cas d'une barrière de forme quelconque décomposée comme une série de barrières rectangulaires. La structure du calcul repose alors sur la prise en compte d'une écriture matricielle des équations, reliant les composantes progressive et régressive dans chaque couche, permettant l'établissement de la matrice de transfert du mode stationnaire entre l'espace d'entrée et l'espace de sortie.

Cette méthode est illustrée sur le cas d'une structure rencontrée en électronique ou optique, la barrière tunnel résonnante, constituée d'une barrière d'entrée d'une partie interne de potentiel bas (puits de potentiel, de largeur L) et d'une barrière de sortie (cf. schéma). On montre que, dans le cas où le potentiel dans le puits est constant (définissant un vecteur d'onde réel ), la transmittivité de la barrière peut s'écrire :  

dans le numérateur apparaissent les transmittivités des barrières d'entrée et de sortie, et le dénominateur contient, outre les coefficients de réflexion en amplitude des barrières d'entrée de sortie, vues depuis l'intérieur du puits central, un terme exponentiel dont les variations (en fonction de l'énergie et/ou l'épaisseur) sont sources de résonances possibles (la formule est bonne pour des formes quelconques des barrières d'entrée et de sortie).

barrière trapézoïdale

La barrière trapézoïdale est obtenue par l'application d'une différence de potentiel entre les deux extrémités de la barrière rectangulaire simple. Ce qui donne le schéma suivant, qui offre l'avantage d'admettre des solutions analytiques exactes ; en effet, pour cette barrière l'expression de la fonction d'onde, à l'intérieur est une combinaison linéaire de fonctions d'Airy, Ai et Bi, que l'on peut raccorder aux ondes planes solutions dans les parties gauches et droites.

Un cas particulier apparaît dans le cadre de cette description. Si la différence de potentiel est suffisamment importante pour que la barrière montre l'existence d'un point classique de retour (passage d'une partie tunnel à une partie classique, au point x2), on obtient alors l'effet d'émission de champ, couramment utilisé en microscopie électronique. La particule, située en dans la bande de conduction à gauche, traverse par effet tunnel et se trouve accélérée vers l'extérieur, à droite.

Éventuellement, selon les valeurs de l'énergie et la forme de la barrière, des résonances de transmittivité peuvent apparaître, dues au saut de potentiel sur la marche de droite. Cette résonance a certains traits communs avec ceux de l'effet Ramsauer. Le schéma ci-contre correspond à une accumulation d'instantanés de la densité de présence associée à un paquet d'onde incident depuis le bas à gauche. L'effet de résonance se manifeste ici par l'apparition des trois maxima dans la partie classique de la barrière. Au terme de la traversée les parties réfléchies et transmises s'éloignent vers le haut de la figure, à gauche et à droite respectivement.

 

approximation BKW

Dans le cas où la barrière de potentiel présente un profil doux, il est possible de montrer, à partir de l'équation de Schrödinger, ou à partir d'une discrétisation fine du potentiel en une série de petites barrières rectangulaires successives, que la fonction d'onde, en un point de coordonnée x dans la barrière peut s'écrire :

Cette approximation, étudiée par Brillouin, Kramers et Wentzel, est manifestement non valide pour les points classiques de retour, x1, x2 (cf. schéma), où le potentiel V(x) est égal à l'énergie E de l'état (k(x) est alors nul), il faut procéder avec quelque soin au raccordement de part et d'autre de ces points.

Dans le cadre de l'étude de la transmittivité cette expression est surtout utile dans le cas tunnel, où k(x) devenant imaginaire pur, les deux exponentielles apparaissant dans l'expression ci-dessus correspondent à des termes décroissant de la gauche vers la droite (terme facteur de la constante A) et décroissante de la droite vers la gauche (terme facteur de B). Dans le cas d'une onde incidente venant de gauche, et pour les barrières suffisamment larges, la source de la partie régressive (expression B) est minime. La transmittivité due à cette partie tunnel est alors obtenue par la considération de la diminution de l'amplitude de l'onde entre les points classiques de retour d'entrée et de sortie, soit :

C'est cette expression qu'il faut alors calculer, par la méthode du potentiel inversé, par exemple. Cette approximation doit être corrigée par des préfacteurs, caractéristiques des potentiels à forte pente (saut de potentiel), que l'on rencontre à l'interface entre deux matériaux, et qui sont monnaies courantes dans les composants électroniques actuels (puits quantiques).

Approche semi-classique et utilisation du potentiel retourné

Antérieurement au développement des moyens de calculs rapides et puissants, qui permettent des évaluations précises des transmittivités, des méthodes approchées se sont développées qui ont permis, de façon efficace, de découvrir des caractéristiques de quelques transmittivités tunnel de certaines barrières d'importance théorique et pratique : barrière de type coulombien (modèle de radioactivité alpha) ou barrière triangulaire associée à l'effet de champ.

Il s'agit d'évaluer l'argument de l'exponentielle apparaissant dans l'approximation BKW. Il est aisé de calculer les intégrales pour les potentiels hyperboliques ou linéaires, mais il est intéressant de noter l'approche possible par la méthode du potentiel retourné pour laquelle l'évaluation de est obtenue via celle de dans laquelle S(E) est l'action calculée sur l'orbite classique que suivrait une particule de même énergie dans le potentiel retourné, obtenu dans le cadre de l'emploi de la symétrie de Corinne.

L'intérêt repose alors sur le fait que pour les barrières suffisamment épaisses, correspondant à des puits larges, l'action est, dans l'approximation semi-classique, sujette à la quantification S(E) = n h.

La transmittivité BKW d'une telle barrière s'écrit alors :

où le nombre quantique n(E) est la fonction réciproque de l'énergie E postulée comme niveau d'énergie discret du puits de potentiel correspondant à la barrière retournée.

Application à la radioactivité alpha

La barrière de potentiel que doit traverser la particule alpha, d'énergie E, après son apparition aléatoire au sein du noyau de numéro atomique Z, est transformée en un puits coulombien, dont les niveaux d'énergies sont ceux d'un hydrogénoïde. Ceci permet le calcul du nombre n(E) directement à partir de formules bien connues :

où apparaissent la masse réduite, et les charges de la particule alpha et du noyau fils (numéro atomique Z-1).

Le report du nombre n(E) dans l'expression de la transmittivité révèle alors le comportement observé de la demi-vie (proportionnelle à l'inverse de la transmittivité) des émetteurs alpha en fonction de \sqrt{E}, énergie de la particule rencontrant la barrière.

Application à l'effet Fowler-Nordheim

Sous l'action d'un champ électrique F, on peut faire sortir des électrons d'un métal (charge q, masse m, énergie E par rapport au bas de la bande de conduction), en particulier d'un métal alcalin de travail de sortie Φ. L'électron est alors soumis à un potentiel triangulaire qui peut, en première approximation, être traité par la méthode BKW : la transmittivité qui s'en déduit (compte tenu des points classiques de retour x1 = 0 et x2 = (Φ − E) / qF)) est

L'obtention du courant tunnel doit bien sûr tenir compte de la distribution en énergie et direction de l'ensemble des électrons de la bande, pour la température du conducteur.

Ici aussi la transmittivité aurait pu être obtenue en utilisant un potentiel retourné. Il s'agit alors du demi-puits de Torricelli, dont les niveau d'énergie peuvent être calculés et permettre l'obtention du nombre n(E).

 

 

Le microscope à effet tunnel

Le microscope à effet tunnel (en anglais STM, Scanning Tunneling Microscope) fut inventé en 1981 par des chercheurs d'IBM, Gerd Binnig et Heinrich Rohrer, qui reçurent le Prix Nobel de physique pour cette invention en 1986. C'est un microscope en champ proche. Le microscope à effet tunnel utilise un phénomène quantique, l'effet tunnel, pour déterminer la morphologie et la densité d'états électroniques de surfaces conductrices ou semi-conductrices avec une résolution spatiale pouvant être égale ou inférieure à la taille des atomes.

 

Il s'agit, pour simplifier, d'un palpeur (une pointe) qui suit la surface de l'objet. La pointe balaie (scanne) la surface à représenter. Un ordinateur ajuste (via un système d'asservissement) en temps réel la hauteur de la pointe pour maintenir un courant constant (courant tunnel) et enregistre cette hauteur qui permet de reconstituer la surface.

Pour cela, avec un système de positionnement de grande précision (réalisé à l'aide de piézoélectriques), on place une pointe conductrice en face de la surface à étudier et l'on mesure le courant résultant du passage d'électrons entre la pointe et la surface par effet tunnel (les électrons libres du métal sortent un peu de la surface, si l'on se met très près sans pour autant la toucher, on peut enregistrer un courant électrique). Dans la plupart des cas, ce courant dépend très rapidement (exponentiellement) de la distance séparant la pointe de la surface, avec une distance caractéristique de quelques dixièmes de nanomètres. Ainsi, on fait bouger la pointe au dessus de l'échantillon avec un mouvement de balayage et on ajuste la hauteur de celle-ci de manière à conserver une intensité du courant tunnel constante, au moyen d'une boucle de rétroaction. On peut alors déterminer le profil de la surface avec une précision inférieure aux distances interatomiques.

Mais souvenons-nous que l'on a une image de synthèse, pas une « photographie » des atomes.

 


Les propriétés de la pointe sont critiques pour les performances de l'instrument. De ce fait, différents types de pointes sont utilisés selon la nature de la surface étudiée et l'information recherchée.

Tant que la surface est approximativement plane à l'échelle atomique, la variation très rapide du courant tunnel avec la distance pointe-surface fait que seul l'atome de la pointe le plus proche de la surface importe. Dans ce cas, la forme de la pointe n'a pas d'influence sur la résolution. En revanche, si la surface est accidentée, la forme de la pointe va limiter la résolution et il est alors indispensable d'utiliser une pointe très fine et donc d'utiliser un matériau dur comme le tungstène (W) ou le platine iridié (Pt/Ir).

Une autre difficulté provient du fait que la plupart des surfaces se recouvrent très rapidement d'une couche oxydée de quelques dizaines d'angströms d'épaisseur, invisible dans la vie courante mais qui empêche le passage du courant tunnel. Il existe deux moyens de contourner ce problème :

  • utiliser un métal noble qui ne s'oxyde pas, comme l'or ou le platine iridié,
  • faire fonctionner le microscope sous vide ou dans une atmosphère inerte (diazote, hélium, ...) et préparer la pointe in situ, c'est-à-dire dans la même enceinte.

Par ailleurs, en utilisant des pointes particulières, il est possible d'accéder à des informations telles que la nature chimique ou les propriétés magnétiques de la surface.

La microscopie à effet tunnel nécessite d'avoir un échantillon conducteur d'électricité. Si l'échantillon est isolant, on utilise une technique proche, la microscopie à force atomique (AFM pour Atomic Force Microscope). Par ailleurs, le microscope à effet tunnel ne permet de voir seulement que les nuages électroniques des atomes. Ainsi, une matière amorphe (non cristalline) ne peut être observée à la résolution atomique.


Historique

Des expériences démontrant avec succès la dépendance entre la distance pointe-échantillon et le courant induit par effet tunnel furent réalisées le 18 mars 1981 dans les laboratoires d'IBM à Rüshlikon (Suisse). Les physiciens allemand Gerd Binnig et suisse Heinrich Rohrer qui réalisèrent ces expériences et qui plus tard mirent au point le microscope à effet tunnel, furent récompensés pour cela par le prix Nobel de physique en 1986. Christian Gerber et E. Weibel prirent également part à ces expériences dans une moindre mesure.

Toutefois, des travaux antérieurs dans ce domaine avaient déjà démontré des aspects essentiels du STM, et notamment l'existence d'un courant électrique lié à l'effet tunnel. Suite à ces résultats, durant les années 70, un appareil baptisé le topografiner fut développé par le groupe de Russel Young au NBS (National Bureau of Standards, Gaithersburg, Md, USA). Mais ils durent faire face à des difficultés techniques (vibrations importantes limitant la résolution du système) et bureaucratiques. Il est vraisemblable que sans ces dernières, Russell Young eut été co-lauréat du prix Nobel donné en 1986. Le Comité Nobel reconnut dans son discours l'importance et la valeur de ces réalisations.

Le microscope à effet tunnel est le père de tous les autres microscopes en champ proche. À sa suite furent développés le microscope à force atomique (AFM) et le microscope optique en champ proche qui tirent profit d'autres interactions à l'échelle atomique. La mise au point de ces microscopes en champ proche fut un pas décisif dans le développement des nanotechnologies dans la mesure où ils permirent d'observer et même de manipuler de manière assez simple et pour un coût relativement modeste des objets de taille nanométrique (c'est-à-dire de taille inférieure aux longueurs d'onde de la lumière visible, de 400 à 800 nm). En 1990, le microscope à effet tunnel a notamment permis à des chercheurs d'IBM d'écrire les premières lettres de l'histoire des nanotechnologies en disposant 35 atomes de xénon sur une surface de nickel, ces 35 atomes dessinant les trois lettres IBM.

De plus, le microscope à effet tunnel contribua de manière éclatante à l'illustration de la mécanique quantique. Au début des années 1990, on put fabriquer et mesurer les « enclos quantiques » (en anglais quantum corrals). Ces enclos quantiques sont des systèmes quantiques de formes géométriques simples déposés sur des surfaces. A l'aide de ces enclos, on put représenter de manière très imagée l'analogie entre les ondes de matière associées aux électrons et les ondes à la surface de l'eau, une confirmation directe de la mécanique quantique dans l'espace réel qui n'était pas possible jusqu'alors. Les images de ces enclos quantiques ont depuis fait le tour du monde : ce sont les images de STM les plus reprises dans les livres, les journaux et les magazines.