Le Repaire des Sciences
Sciences Physiques et Chimiques

 

 

 

 

     Attracteurs étranges et chaos

 

 


 

1.Introduction

    1.1.Généralités

    À quoi sert le chaos ? Comme on ne peut prédire le comportement à long terme des systèmes chaotiques, on a longtemps cru que le chaos serait incontrôlable et inutilisable. Pourtant, ces 30 dernières années, des chercheurs ont réussi à mettre certains phénomènes en équation et remarqué qu’il existe un côté déterministe dans ce qui apparaît être à première vu aléatoire.

    C’est le cas notamment d’Edward Lorenz, du M.I.T., qui s’intéressait à la météorologie et par conséquent aux mouvements turbulents d’un fluide comme l’atmosphère. Après avoir modélisé, par les relations (très simplifiées) de thermodynamique et de mécanique des fluides, le mouvement des masses d’air, il programmait son ordinateur de façon à obtenir une simulation numérique. À l’époque, cela prenait beaucoup de temps. Un jour, pour ne pas recommencer les calculs depuis le début, il décida de reprendre son listing et de rentrer en tant que conditions initiales des valeurs prises au cours de la simulation de la veille. L’ordinateur lui donnait une précision à 5 chiffres, cependant 3 chiffres significatifs lui semblaient largement suffisant pour ce genre de mesures physiques. Il tronqua donc ces nombres et repris le calcul. Les résultats qui suivirent furent le " déclic ". D’abord la simulation semblait redonner les mêmes valeurs mais au bout d’un moment rien ne concordait, tout se passait comme si le mouvement représenté par ces valeurs changeait complètement de trajectoire et ce à cause d’une approximation de l’ordre de 10-4 !

    Cette anecdote est à la base de ce que l’on appelle maintenant le chaos déterministe. À savoir, une infime variation des conditions initiales d’un système bouleverse complètement son évolution. Les exemples sont nombreux, le plus connu étant " l’effet papillon " (le battement d’aile d’un papillon à Tokyo peut entraîner une tempête à New-York (sic)).

    1.2.Définitions

    Chaos :

    Définition Larousse : n.m. (gr. Khaos). Confusion générale des éléments, de la matière, avant la création du monde. Fig. Désordre.

    Définition E.Lorenz : Un système agité par des forces où seules existent trois fréquences indépendantes, peut se déstabiliser, ses mouvements devenant alors totalement irréguliers et erratiques.

    Pour identifier leur origine déterministe, on a pris l’habitude de qualifier ces comportements de " chaotiques ", alors que l’adjectif " aléatoire " est plus généralement réservé aux autres comportements erratiques.

    Espace des phases :

    Les trajectoires dynamiques d’un système se situent dans un espace mathématique appelé espace des phases. Cet espace, bien qu’abstrait, contient sous forme géométrique une information concrète. Les variables qui sont à la base de la construction de cet espace sont des grandeurs réelles et à chaque point correspond une situation physique bien déterminée. Ainsi l’espace des phases du balancier d’une horloge est construit à partir des variables vitesse et angle par rapport à la verticale.

    Le choix de ces variables n’est pas arbitraire. L’espace doit contenir toute l’information sur la dynamique du système étudié. Les grandeurs doivent être indépendantes pour que chacune apporte sa propre information. Ce qui implique un certain nombre de variables nécessaires et introduit la notion de degrés de liberté du système que nous prendrons égal à la dimension de l’espace des phases.

    Attracteur étrange :

    " Un attracteur est la limite asymptotique des solutions partant de toute condition initiale située dans un bassin d’attraction qui est un domaine de volume non nul ".

    Lorsque les coordonnées, dans l’espace des phases, d’un système physique sont comprises au cours du temps dans un domaine restreint de l’espace entier (i.e. aucune coordonnée ne diverge) alors l’évolution du dit système a deux comportements possibles.

    Soit le système est chaotique au sens étymologique du terme, et l’évolution de ses coordonnées se fera dans l’anarchie la plus totale (comportement aléatoire). Soit il est chaotique déterministe et possède un attracteur étrange.

    On distingue trois types d’attracteurs. D’une part, le point fixe et le cercle limite qui se caractérisent par des mouvements atteignant un état stationnaire ou qui se reproduisent indéfiniment. D’autre part l’attracteur étrange (expression utilisée pour la première fois en 1971 par Ruelle et Takens). L’attracteur étrange désigne une figure dans l’espace des phases représentant le comportement d’un système dynamique. Il est représentatif d’un système multi-périodique si le système possède au moins deux fréquences d’oscillation indépendantes. L’attraction des trajectoires autour de l’attracteur est liée au caractère dissipatif du système réel.

    1.3.Exemples étudiés

    Dans ce travail, nous allons étudier deux modélisations. La première est le mouvement de convection d’un fluide à l’intérieur d’une cellule. D’un point de vu historique, cet exemple fut l’un des supports de la nouvelle théorie des phénomènes chaotiques. Il est issu de l’opiniâtreté d’E.Lorenz à établir des équations traduisant le mouvement des masses d’air afin de prédire la météo. Par la suite, nous traiterons le pendule forcé et gêné qui peut être pris comme représentation de nombreux systèmes physiques.

    Ce genre de systèmes ne peut être traité analytiquement. En effet, les équations qui régissent le mouvement sont non-linéaires, le calcul numérique est alors le seul recours.

2.Méthode de résolution numérique

    2.1.Position du problème

    Comme nous l’avons dit précédemment, les équations mathématiques qui régissent le problème sont non-linéaires. C’est à dire leurs solutions ne peuvent se mettre sous une forme analytique. Nous sommes donc contraints à une résolution numérique qui par un calcul approximatif donne de façon convenable, (précision de l’ordre de 10-16), chaque valeur des dites équations.

    Une équation non-linéaire est en général une équation qui fait apparaître un couplage de termes d’ordres différents (i.e. par exemple). Il nous faut donc un outil capable de résoudre ce genre de problème.

    2.2.La méthode de Runge-Kutta (d’ordre 4)

    Cette méthode présente un inconvénient mineur ; elle ne peut être utilisée que pour des équations différentielles d’ordre 1. En remplaçant une équation différentielle d’ordre n par un système de n équations du premier ordre, le problème est résolu.

    Exemple :

    Posons , le système s’écrit alors :

    Traduction numérique :

    On suppose la solution connue de t=0 à t=tj

    y(tj+1)=yj+1 y(tj)=yj

    f(yj,tj)=fj

    Méthode Runge-Kutta d’ordre 4 :

    On a

    yi+1=yi+[f(ti,yi)+2f(i+1/2+ti+1/2)+2f(i+1/2,ti+1/2)+f(i+1,ti+1)]

    On évalue une première fois yi+1/2

    i+1/2=yi+f(yi,ti)

    puis une deuxième fois :

    i+1/2=yi+f(i+1/2,ti+1/2)

    i+1=yi+f(i+1/2,ti+1/2)

    et ainsi de suite, on évalue par récurrence les i+1.

    2.3.Application avec Matlab

    Le principe de résolution numérique étant défini, il ne nous reste plus qu’à le mettre en œuvre. Pour cela Matlab dispose d’une procédure préétablie nommée ‘ODE45’.

3.L’attracteur de Lorenz

    3.1.Introduction et mise en équation

    La convection de Rayleigh-Bénard :

    Dans un fluide dilatable, toute différence de température tend à créer une différence de densité ; si le fluide est placé dans le champ de la pesanteur, celle-ci engendre à son tour des forces pouvant entraîner un mouvement de fluide appelé convection thermique.

    Le fluide froid, plus dense, a tendance à descendre tandis que le fluide chaud lui a tendance à monter :

    Figure 1

    La différence de température entre les deux éléments de fluide (H et B) diminue au cours du temps lors du passage de H en H’ et B en B’. Ce phénomène est dû à la diffusivité thermique DT, avec une constante de temps de l’ordre de :

    .

    Soit le temps de déplacement de H vers H’ et B vers B’. Ce temps caractéristique se comporte comme :

    .

    avec :

     : viscosité dynamique

     : coefficient de dilatation volumique

     : densité moyenne

    g : accélération de la pesanteur

    Dans ces condition, le mouvement est durable Ssi . Ce qui revient à dire Ssi :

    . Ra est le nombre de Rayleigh.

    L’équation précédente montre qu’il existe un nombre de Rayleigh critique Rac (ou un écart critique Tc) au-delà duquel, naît la convection. Cette convection est cependant tout à fait ordonnée pour Ra~Ra:

    Figure 2

    On a une organisation du fluide en rouleaux convectifs ; le plan de la figure est une coupe verticale, les rouleaux tournent alternativement dans un sens et dans l’autre par suite d’un effet " d’engrenage " mutuel.

    Il faut alors remarquer que pour Ra=Rac, la convection débute mais dans quel sens ? La transition qui a lieu à Rac est une bifurcation entre deux états également stationnaires : l’état de repos et l’état convectif. Ce dernier ayant une égale probabilité de tourner dans un sens ou dans l’autre.

    Lorsqu’on augmente la différence de température T, donc le nombre de Rayleigh, l’arrangement finit par être complètement détruit : le fluide devient turbulent. Ce comportement dynamique complexe, imprédictible, trouve clairement sa source dans la multiplicité des configurations spatiales pouvant exister. De leur combinaison résulte un chaos dit " à grand nombre de degrés de liberté ". Pour empêcher ce type de chaos de se manifester il suffit de réduire radicalement le nombre de configurations compatibles avec les contraintes imposées au fluide (i.e. placer le fluide dans une cellule dont les dimensions horizontales sont du même ordre de grandeur que la hauteur, ainsi le nombre de rouleaux sera limité).

    Equations d’évolution :

    Les équations qui rendent compte des phénomènes convectifs sont relatives à la vitesse d’un élément de fluide et à sa perturbation de température . La mécanique des fluides conduit aux équations adimensionnelles suivantes :

    - équation de Navier-Stokes : (bilan local de la quantité de mouvement)

     ; nombre de Prandtl : rapport entre la viscosité cinématique du fluide et sa diffusivité thermique (Pr pour l’air).

    p : pression hydrostatique.

     : vecteur unitaire sur l’axe vertical.

    - conservation de la masse :

     ; or densité volumique=cte donc on a :

    - propagation de la chaleur :

    On remarque l’apparition des termes non linéaires et , qui jouent un rôle prépondérant quant à la résolution analytique. Le terme entraînera certainement des instabilités secondaires dues à la non-uniformité du champ de vitesse ().

    Modèle de Lorenz :

    Faisant intervenir l’opérateur nabla , les équations ci-dessus sont assez peu pratique à manier. Aussi nous allons les transformer en un ensemble fini d’équations différentielles ordinaires (par la méthode de Galerkin). Pour cela nous devons obéir a trois règles :

    - ne pas introduire d’instabilité " catastrophique " (du type où t= est une " catastrophe ").

    - préserver les propriétés exactes des équations de départ.

    - élaborer des équations tronquées aussi proches que possible des équations initiales.

    A l’origine (en 1963), le but de Lorenz était d’élaborer un système même grossier qui représentait l’attitude du comportement de l’atmosphère pour pouvoir faire des calculs sur un ordinateur peu puissant.

    La simplification la plus immédiate est d’envisager la situation où les rouleaux de convection sont tous parallèles :

    Figure 3

    Ainsi le vecteur vitesse de chaque élément de fluide est toujours perpendiculaire à l’axe de ces rouleaux.

    Soit (avec u(x,z,t) et w(x,z,t)).

    L’équation d’incompressibilité devient dans ces conditions :

    .

    Soit (x,z,t) la fonction de courant alors et . Une première contrainte est qu’il ne doit y avoir aucun flux de matière à travers les deux surfaces, soit :

    Par ailleurs, si on suppose les surfaces " libres ", on ignore les forces de tension superficielle ; ce qui entraîne :

    soit

    Ces deux conditions aux limites sont satisfaites lorsque :

    Cette équation est vérifiée par un terme du type . Comme les lignes de niveau de la fonction sont les lignes de courant du champ de vitesse, elles doivent en outre reproduire convenablement l’allure du système de rouleaux dans la direction x. Ceci est réalisable à l’aide d’un terme du genre sin(qx), de période dans la direction x.

    Appliquant la méthode de Galerkin, on donne sous la forme :

    d’où on tire :

    Explicitons maintenant l’équation de Navier-Stokes pour les deux coordonnées d’espace x et z ; il vient ainsi respectivement :

    En prenant le rotationnel de ces deux équations et compte tenu de l’égalité on obtient l’équation :

    On admet que la température est fixée de manière parfaite sur chaque face, alors l’écart de température est nul en .

    On est ainsi conduit à prendre de la forme suivante :

    L’addition du second terme, indépendant de x, s’avère nécessaire pour tenir compte d’une partie au moins des non-linéarités du système.

    Reportons cela dans notre équation, on aboutit à :

    équation différentielle linéaire du premier ordre en .

    L’équation de transport de la chaleur conduit, quant à elle, à la relation :

    La parenthèse vient de

    En remplaçant l’expression du champ de vitesse, , et la température, , on n’obtient pas une identité vérifiée en tout point, comme l’exige normalement cette équation. A défaut on va donc imposer l’égalité des termes dépendant des coordonnées, comme cos(qx) et . Négligeant le terme en cos(qx), on obtient de la sorte les deux conditions :

    Posons :

     

    On aboutit ainsi au modèle, dit de Lorenz :

    en introduisant les deux paramètres :

     

    Il reste à vérifier la cohérence du modèle, i.e. le fait qu’aucune solution ne diverge à l’infini. Ce qui entraîne une condition supplémentaire :. Les fluctuations correspondant au seuil d’instabilité sont évidemment celles pour lesquelles le membre de droite est minimal soit : .

    D’où . Dans ces conditions le paramètre b=8/3.

    La quantité r, directement liée à Ra, constitue le paramètre de bifurcation. Comme nous l’avons dit précédemment, les turbulences n’apparaissent qu’à partir d’un certain Ra, (ou r), et selon cette quantité nous sommes soit dans un état stationnaire (repos ou convection ordonnée) soit dans un état chaotique. D’après les diverses études faites à ce sujet, pour nous avons un attracteur étrange comme solution stable.

    Résolution numérique :

    Le système des trois équations du premier ordre ci-dessus est traité directement par Matlab. Il suffit d’intégrer sur un intervalle de temps de l’ordre de 50 unités avec des conditions initiales aléatoires mais prises pour le calcul telles que :

    X0=+5

    Y0=-8

    Z0=+6

    Les coefficients de l’équation pris pour faire notre calcul sont ceux choisis à l’origine par E.Lorenz soient : Pr=10 ; b=8/3 ; r=28.

    3.2.Résultats

    Figure 4

     

    Il nous apparaît bien deux points fixes instables C et C’. Pour caractériser un aspect du comportement chaotique, on peut calculer numériquement deux attracteurs de Lorenz aux conditions initiales très voisines (de l’ordre de 10-15). On compare en suite les modules (module) et il vient la figure suivante :

    Figure 5

    3.3.Commentaires

    Nous étudions donc le comportement des rouleaux de convection pour une valeur du paramètre r, ou Ra, se situant dans un domaine où le comportement est chaotique. Cette quantité Ra, (liée directement à ), est très supérieure à Rac correspondant au début de la convection. La différence de température entre les éléments de fluide aux surfaces de la cellule est telle que les rouleaux ne peuvent être réguliers (i.e. l’agitation thermique des particules constituant le fluide occasionne un mouvement trop rapide). Autrement dit, les éléments " froids ", dans leur convection n’ont pas le temps de se réchauffer à l’approche de la surface chaude tandis que les " chauds " eux ne peuvent se refroidir assez avant d’atteindre la surface froide. Le système se déstabilise alors complètement, les flux de convection ont alors une " orbite instable " décrite par la figure précédente (fig.4).

    On remarque que tout d’abord, quelles que soient les conditions initiales, la figure obtenue présente les mêmes caractéristiques. A savoir premièrement, l’apparition de deux point fixes instables C et C’, qui semblent être les deux centres du " 8 vrillé ". En fait, le passage d’une " aile " à l’autre correspond au changement du sens de la vitesse des rouleaux de convection. En effet, nous avons vu (§ 3.1.) que Rac était un point de bifurcation, au delà duquel la convection débutait. Seulement, nous avons un équiprobabilité quant au sens du mouvement. Le schéma ci-après illustre ce point :

    Figure 6

    Dans la zone de comportement chaotique, la convection passe de v- à v+, sans tout de même se stabiliser sur l’une d’elle, il s’en suit une sorte de tournoiement autour de deux pôles traduits par C et C’ sur la figure.

    La deuxième figure (fig.5) nous montre bien que chaque attracteur est unique et dépend des seules conditions initiales. La fonction du comportement semble bien converger vers une figure limite qui ne peut être définie de manière exacte, nous sommes donc bien en présence d’un attracteur étrange.

    Remarque :

    Cette deuxième figure illustre aussi la manière dont E.Lorenz à mis le doigt la première fois sur ces phénomènes (cf. généralités § 1.1.).

4.Le pendule

    4.1.Introduction et mise en équation

    Le pendule forcé que nous allons étudier se présente schématiquement comme suit :

    Figure 7

    Il est composé d’une masselotte magnétique attachée à un fil rigide et d’un électro-aimant parcouru par un courant sinusoïdal créant un champ perturbateur. Le mouvement est restreint à une dimension (mouvement plan), et est entretenu par une force de rappel qui compense les pertes d’énergie. Pour décrire son évolution au cours du temps, nous avons besoin d’un certain nombre de variables distinctes, (notion de degré de liberté). Ici, il est nécessaire de trouver deux grandeurs indépendantes, qui constituent par ailleurs l’espace des phases (cf. définitions). La connaissance de l’angle v par rapport à la verticale et de la vitesse nous permet de définir de manière exacte l’état du pendule. Pour des raisons de commodité, nous prendrons la longueur du fil ainsi que la masse de la masselotte égaux à l’unité.

    Nous pouvons d’ores et déjà remarquer que ce système comporte plusieurs fréquences indépendantes : l’oscillation propre du pendule (induite par la pesanteur), la force de rappel et la variation du champ magnétique. D’après la définition d’E.Lorenz, on peut s’attendre à un comportement chaotique pour certaines valeurs du champ, des frottements ou de la force de rappel.

    Mise en équation :

    Le mouvement du pendule forcé est régit comme tout système dynamique par l’équation fondamentale de la dynamique à savoir :

     ; où est la quantité de mouvement et une force extérieure.

    Considérons tout d’abord notre pendule sans frottement, le pendule n’est alors soumis qu’à la seule force créée par la répulsion (ou l’attirance) entre la masselotte et l’électro-aimant ; l’équation précédente devient alors :

     ; avec puisque nous avons choisi arbitrairement la masse et la longueur du fil égales à un. est une fonction linéaire du temps.

    La force introduite par les frottement est, si le système ne subit pas de transformation physique importante (échauffement, usure, etc.), proportionnelle à la vitesse donc de la forme :

     ; où A est une constante (coefficient d’amortissement).

    Notre équation devient donc :

    Nous devons remarquer que cette équation est inadaptée au problème physique. En effet, elle présente deux défauts. D’une part, elle prévoit que l’énergie du pendule croît indéfiniment, ce qui n’a bien entendu aucun sens physique. D’autre part, si v(t) est solution, alors v(t) est aussi solution, quel que soit réel. Une telle invariance par " dilatation " est incompatible avec l’existence d’oscillations d’amplitude bien déterminée. Il nous faut donc :

    -détruire l’invariance par dilatation

    -limiter l’augmentation d’énergie

    -introduire un apport d’énergie qui compense les pertes par frottement

    La prise en compte des contraintes précédentes revient à introduire dans notre équation la force suivante :

    Ici nous remarquons l’introduction du terme qui entraîne la non-linéarité de l’équation donc la destruction de l’invariance par dilatation et l’incapacité à la résolution analytique.

    Finalement, l’équation du pendule forcé s’écrit :

    Résolution numérique:

    Posons et .

    On obtient alors le système :

    qui peut être traité directement par Matlab.

    Les résultats ci-après sont obtenus pour A=0.01, B=12, C=0.5. Et les conditions initiales sont aléatoires mais prises pour le calcul telles que le pendule ait vitesse et position nulles.

    4.2.Résultats

    Dans l’espace des phases, l’intégration numérique donne la figure suivante :

    Figure 8

    On remarque la forme bien déterminée de l’attracteur, où apparaissent distinctement deux points fixes instables. Pour se faire une idée plus précise du mouvement, on peut visualiser le comportement du pendule temporellement et en 3-dimensions :

    Figure 9

    Pour caractériser le comportement chaotique du mouvement, on peut calculer numériquement deux pendules aux conditions initiales très voisines (de l’ordre de la précision de Matlab soit 10-15), et comparer en suite les modules (module). Ce qui donne la figure ci-après :

    Figure 10

    4.3.Commentaires

    Un pendule a trois comportements possibles :

    - Pour le pendule simple, l’absence de frottement entraîne une oscillation permanente après un lancement. Son mouvement dans l’espace des phases est alors une ellipse.

    - Si il y a des frottements (système dissipatif) la trajectoire converge vers un point fixe.

    - Si le pendule est en plus entretenu et gêné son comportement est beaucoup moins trivial. C’est sur ce dernier point que l’on va s’attarder.

    Les figures obtenues (fig.8, 9 et 10) sont assez éloquentes. On remarque que quelles que soient les conditions initiales, nous avons l’apparition de deux points fixes instables. Le pendule oscille donc autour de deux points sans pour autant les atteindre et converger vers eux. Par analogie avec l’attracteur de Lorenz, on peut penser que le système possède un point de bifurcation. En effet, le point est centre de symétrie et position d’équilibre pour une valeur très faible des perturbations magnétiques. Donc, pour un valeur critique de B, le système va osciller mais soit d’un " côté " soit de l’autre. Ce qui est clairement représenté sur la figure (fig.8).

    Enfin, la comparaison temporelle de deux pendules (fig.10) nous montre bien qu’une infime variation des conditions initiales entraîne un comportement analogue (le mouvement reste autour de l’attracteur), mais le chemin suivi est totalement différent d’un pendule à l’autre. Ce qui est l’essence même du chaos (cf. généralités, effet papillon, § 1.1.).

5.Conclusion générale

    5.1.Applications aux systèmes physiques

    Les deux exemples que nous avons traités sont directement en corrélation avec des systèmes physiques.

    Pour ce qui est de l’attracteur de Lorenz, les résultats obtenus représentent la convection des masses de fluides. Nous avons reproduit ce phénomène en prenant l’air comme élément (Pr=10). Mais les équations restent les mêmes pour par exemple l’hélium (Pr~0.6), le mercure (Pr=0.031), les huiles aux silicones (Pr variant de 38 à 130), etc.

    Le pendule forcé et gêné, quant à lui, est la schématisation quasi-générale de l’oscillateur. Ces systèmes périodiques sont extrêmement répandus, que ce soit un électron gravitant autour de l’atome d’un cristal plongé dans un champ magnétique ou un rythme biologique (respiration, contraction du muscle cardiaque, alternance de veille et de sommeil, cycle de reproduction des plantes, etc). La clef de l’analyse de tous ces phénomènes est l’oscillateur.

    5.2.Limites et perspectives

    Nous avons dans ce travail introduit la notion de degrés de liberté. La capacité à traiter les modélisations de ces systèmes physiques est induite justement par le faible nombre de degrés de liberté. En effet, on s’est attaché à réduire au maximum le nombre de paramètres influant sur le système étudié et diminuer ainsi la dimension de l’espace des phases. Cette contrainte est liée à la seule capacité calculatoire de l’outil informatique que nous utilisons. L’essentiel est tout de même préservé, à savoir que les équations mathématiques obtenues relatent de manière globale le comportement du phénomène.

    Par ailleurs, nous avons délibérément occulté, pour des raisons de dépassement du cadre du sujet et de longueur impartie, la dimension fractale des résultats obtenus. En effet les comportements chaotiques déterministes se caractérisent par des représentations fractales dans l’espace des phases ; notamment au niveau de la " section de Poincaré " (cf. bibliographie).

    La résolution analytique étant impossible (à cause de la non-linéarité des équations différentielles), nous sommes donc obligés de faire un calcul numérique (autrement dit point par point). Or les nombres traités sont réels (dont certains irrationnels), ce qui nous amène à faire des approximations (de l’ordre d’une quinzaine de chiffres significatifs certes, mais une approximation quand même). On peut alors à juste titre repenser à la " mésaventure " de Lorenz et de son ordinateur.

    A l’heure actuelle l’étude de ces phénomènes erratiques tient une place importante dans le monde scientifique. Les phénomènes apparemment aléatoires cachent souvent un chaos déterministe. Il peut s’avérer intéressant de pouvoir prédire les fluctuations boursières, la propagation d’une épidémie, ou la croissance de la démographie d’un pays. Cependant, la maîtrise de cette nouvelle science est subordonnée à la puissance technologique.

    5.3.Bibliographie

    -P. BERGE, Y. POMEAU, Ch. VIDAL ‘L’ordre dans le chaos’ Hermann (1984)
    -James GLEICK ‘La théorie du chaos’ Albin Michel (1989)
    -‘La science du désordre’ La Recherche (mai 1991) p539 à 552
    -‘Le chaos, monstre sensible et docile’ Science&Vie (nov 1993) p38 à 45
    -‘Turbulence dans une boîte’ La Recherche (mai 1991) p628 à 638
    -‘La diffusion chaotique’ La Recherche (avr 1989) p490 à 498
    -‘Le ciel est imprévisible’ Science&Vie (nov 1993) p46 à 55
    -‘La revanche du dieu chaos’ La Recherche (mai 1991) p542 à 549
    -‘La maîtrise du chaos’ Pour la Science (oct 1993) p64 à 70
    -‘La physique du désordre’ La Recherche (mai 1991) p554 à 570
    -‘Le chaos en biologie’ La Recherche (mai 1991) p588 à 598
    -‘Des billards au chaos des atomes’ La Recherche (mai 1991) p600 à 608
    -‘Le chaos dans le système solaire’ La Recherche (mai 1991) p572 à 582
    -‘Les désordres boursiers’ La Recherche (mai 1991) p668 à 672
    -‘Henri Poincaré, le précurseur’ La Recherche (mai 1991) p566 à 570