Le Repaire des Sciences
Sciences Physiques et Chimiques

 

 

 

 

     Le théorème du viriel
 



 

"viriel" est issu du latin vis, signifiant force. C'est à Rudolf Clausius qu'on en doit l'usage en 1870. L'énoncé actuel est le suivant.

Dans un système en équilibre dynamique ("apparent"), l'énergie cinétique est égale à la moitié de l'énergie potentielle.

Le résultat est en fait une simple conséquence du principe fondamental de la dynamique (PFD), ou 2ème loi de Newton, appliqué à un ensemble de masses en interaction gravitationnelle réciproque (problème à N corps).

 

Démonstration

Soit un système à N corps massif isolé : chaque corps ne subit alors que les forces gravitationnelles de ses voisins. Pour chaque corps i, le PFD s'écrit

F_i = -\sum_j G m_i m_j \frac{r_i-r_j}{|r_i-r_j|^3} = m_i \frac{d^2r_i}{dt^2}

En multipliant par ri et en sommant sur toutes les particules i,

\sum_i F_i r_i = -\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_i m_i r_i \frac{d^2r_i}{dt^2}

-\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i (r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_i m_i r_i \frac{d^2r_i}{dt^2}

En sachant que

\frac{d^2}{dt^2}(r_i^2)=2\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2+2r_i\frac{d^2r_i}{dt^2}

et que, par échange d'indices muets,

\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = \sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_j(r_j-r_i)}{|r_j-r_i|^3}

-2\sum_{i,j} G m_i m_j \frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3} = -\sum_{i,j} G m_i m_j \left(\frac{r_i(r_i-r_j)}{|r_i-r_j|^3}  + \frac{r_j(r_j-r_i)}{|r_j-r_i|^3}\right) = -\sum_{i,j} G m_i m_j \left(\frac{(r_i-r_j)^2}{|r_i-r_j|^3}\right)

- \frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|} = \frac{1}{2}\sum_i m_i\left(\frac{d^2(r_i^2)}{dt^2} - 2\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2\right)

-\frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|} + \sum_i m_i\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{d^2}{dt^2}\left(\sum_i m_ir_i^2\right)

On reconnaît dans cette expression l'énergie potentielle

E_p = -\frac{1}{2} \sum_{i,j} G\frac{m_im_j}{|r_i-r_j|}

l'énergie cinétique

E_c = \frac{1}{2} \sum_i m_i\left(\frac{dr_i}{dt}\right)^2

et la dérivée seconde de l'inertie

I = \sum_i m_i r_i^2

A l'équilibre, I = 0 donc

Ep + 2 Ec = 0

De manière plus générale, le théorème du viriel est très utilisé en astrophysique. Notamment, il peut être utilisé pour estimer la limite de Chandrasekhar sur la masse des naines blanches.

Le théorème du viriel est très utilisé en dynamique galactique. Il permet par exemple d'obtenir rapidement un ordre de grandeur de la masse totale M d'un amas d'étoiles si l'on connaît la vitesse moyenne V des étoiles dans l'amas et la distance moyenne R entre deux étoiles de l'amas, qui peuvent être estimés à partir des observations :

  • Ec ~ ½MV²
  • Ep ~ - GM²/2R

Il vient alors 2Ec = - Ep <=> M = 2RV²/G

Le facteur 2 provient du fait que pour un système de particules il faut éviter de compter deux fois l'énergie potentielle associée à un couple.

Comme il est possible par ailleurs de déterminer la masse des étoiles visibles à partir de leur luminosité, on peut comparer la masse totale obtenue par le théorème du viriel à la masse visible. Fritz Zwicky fut le premier à faire ce calcul, et constata une différence considérable (facteur 10 à l'échelle des galaxies et facteur 100 à l'échelle des amas) entre les deux grandeurs, ce qui a conduit les astrophysiciens à supposer l'existence de matière noire, c'est-à-dire non détectable par nos instruments. La seule autre explication possible serait que la loi de la gravitation n'est pas valable à grande échelle, mais aucune piste en ce sens n'a donné de résultat à ce jour.

On peut montrer que cette matière noire domine la masse des galaxies à l'extérieur du disque, dans le halo où elle s'étend jusqu'à 100-200 kiloparsecs (kpc) – contre 10-20 kpc pour la masse visible.